ETUDE D'UNE LOI DE STABILISATION SIMPLE UTILISANT LA DERIVEE DU CHAMP MAGNETIQUE TERRESTRE.

NB: Cette étude est donnée sous la forme telle qu'elle avait été présentée, à l'occasion d'un projet élaboré à l'Ecole de l'Air de Salon de provence. Comme certains de mes collègues pourraient être un jour concernés par une étude semblable, je l'ai laissée en l'état.

Le fichier *.doc est un format Winword 2

Cadre de l'étude:

Un micro-satellite, en orbite héliosynchrone, doit être stabilisé pointage terre, avec un SCAO ( Système de Contrôle d'Attitude et d'Orbite ) aussi simple que possible à mettre en œuvre, entraînant une gestion de bord très allégée en calculs et traitement d'informations capteurs.

Origine de l'idée:

A l'occasion d'une visite chez MMS (Matra Marconi Space), M DAMILANO spécialiste dans les études de SCAO appliquée à des micro-satellites, nous indique fort aimablement que les américains utilisent couramment et avec succès, une commande basée sur la dérivée du champ magnétique terrestre.

L'idée de base est que vue du satellite, une partie importante de la vitesse du satellite résulte de sa rotation instantanée, la détection de la dérivée permettra donc de générer une commande afin de dissiper l'énergie de rotation du satellite, le stabilisant par une capture naturelle réalisée par le gradient de gravité.

Equipements nécessaires:

Capteurs : magnétomètres donnant à bord du satellite, dans les axes satellites G x, y, z les composantes Bx, By, Bz du champ magnétique terrestre B à la position courante du satellite.

Se renseigner sur les caractéristiques: masse, coût, encombrement, disposition à bord, bruit, biais ....

Un ensemble de trois magnétocoupleurs dont les axes sont parallèles aux axes satellite. Voir ....\SCAO\MAGNETOC\magneto2.htm

Recueillir les informations techniques nécessaires à leur mise en œuvre et à la modélisation de leur comportement.

Capteurs ou senseurs d'attitude à définir, restituant l'orientation du satellite autour de son centre d'inertie.

Une électronique de calcul et de traitement du champ magnétique B puis de commande des magnétocoupleurs.

Problème de la commande, linéarité, saturation des magnétocoupleurs .....

L'ensemble devrait après étude se révéler simple à mettre en œuvre.

Conditions de mise en oeuvre:

Un tel système pourra agir dès les premières secondes du vol orbital, puisqu'il se révélera comme dissipateur d'énergie. Un mât de gravité est-il nécessaire? Quand le déployer s'il est présent et pourquoi?

Il faudra alors envisager que la capture et l'amortissement puissent conduire à une stabilisation avec un pointage de la caméra à l'envers.

On envisagera alors:

De détecter cette position, comment?

De remédier à cette situation, c'est à dire opérer un retournement. Peut-on utiliser le mât de gravité? Comment? Problème de la commande ....

D'étudier les conséquences néfastes éventuelles de cet usage.

D'estimer la durée maximale de l'opération de stabilisation y compris et surtout dans le cas d'une position à l'envers au départ.

De vérifier si cette contrainte de temps est compatible ou non avec les spécifications de la mission et notamment du phasage et de la dérive de l'heure locale.....

I COMMANDE PAR LA DERIVEE DU CHAMP MA GNETIQUE TERRESTRE.:

1° ) Principe de base : créer à bord du satellite un moment magnétique , vous trouverez la modélisation du champ magnétique terrestre dans ...\scao\magnetoc\magneto2.htm.

dérivée à prendre dans les axes satellite, pour la simple et bonne raison que les magnétomètres attachés au satellite fournissent les composantes dans les axes satellite. On envisagera alors peut être le calcul de la dérivée de manière analogique (à voir).

Une électronique adéquate et des magnétocoupleurs interagissant avec le champ magnétique terrestre vont donc permettre de créer sur le satellite un couple actif valant.

2°) La chaîne logique de contrôle :

Le diagramme fonctionnel pourrait se présenter ainsi:

II ETUDE PHYSIQUE DE LA COMMANDE :

Que représente physiquement la dérivée du champ B vu du satellite? Mécaniquement c'est la vitesse de l'extrémité du vecteur B vu par un observateur lié au corps du satellite.

Or la variation d'un vecteur a deux origines, la variation de longueur et le changement d'orientation.

Le changement de longueur provient nécessairement du mouvement orbital par la variabilité de la latitude en particulier.

Le changement d'orientation a pour origine la rotation du satellite et le mouvement orbital. De plus dans la rotation absolue du satellite il intervient la rotation du repère GXYZ (dit orbital) valant wo autour de l'axe de tangage Y.

Toutes ces remarques pour constater que si on oublie le mouvement orbital, la seule variation de B provient de la rotation W du satellite par rapport au repère GXYZ, précisément la rotation qu'il faut annuler. Vu du satellite B tourne à la vitesse -W.

Faisons une figure qui montre la géométrie du contrôle.

Le lecteur montrera que seule la composante de la rotation transverse au champ

magnétique (du moins son opposé) crée une vitesse sur B, et conclura que le couple généré sur le satellite s'oppose à cette composante transversale.

L'effet amortisseur de cette composante devient alors très clair.

Le lecteur curieux pourra également, par une méthode analogue montrer que la rotation orbitale de GXYZ (toutes choses restant égales par ailleurs) crée sur le satellite en orbite polaire (pour simplifier) un couple :

qui a pour conséquence de mettre en retard le satellite par rapport à la géocentrique ( retard sur le tangage) ce couple apparaît ainsi perturbateur.  

III Etude mathématique permettant de mettre en évidence le rôle amortisseur de la commande.:

Cette étude demande du soin car les divers repères jouent des rôles subtils. Voir ...\scao\attitude\scao_0.htm.

Ro désignera le repère orbital G XYZ attaché au mouvement du centre d'inertie (Trajectoire ou orbite) du satellite mais indépendant du mouvement autour du centre d'inertie (Attitude);

S ou R désignera le repère G x y z lié au satellite.

est le vecteur rotation instantanée de R par rapport à Ro. Il est clair qu'un des buts du contrôle est de maintenir ce vecteur à 0, avec des angles de roulis F, lacet Y, tangage q, nuls.

Rappelons que pour de petits angles de décalage de R par rapport à Ro, le vecteur rotation vaut sur x y z ou X Y Z et B :

1° ) Mise en évidence de l'effet amortisseur du couple de commande sur les trois axes.

Rappelons la formule de dérivation d'un vecteurs dans deux repères.

ce calcul explicité avec la formule du double produit vectoriel donne:

Ce mode de calcul du couple fait apparaître deux termes de natures très différentes, le premier C1 qui dépend linéairement du vecteur W à contrôler par l'intermédiaire de la matrice A(t), qui elle ne dépend que du temps ( puisque sur l'orbite circulaire le champ ne dépend que de l'angle de rotation j(t)=wot ) et le deuxième terme C2 ne dépendant à priori que du temps.

L'idéal serait que la matrice A(t) possède des valeurs propres négatives, sauf peut être en certains points de l'orbite où elles pourraient s'annuler exceptionnellement. Voyons cela de plus près.

Le lecteur exécutera les calculs qui montrent que dans la base du satellite on a : C₁ = A(t) W

Cette matrice symétrique possède des valeurs propres réelles.

Montons grâce à une analogie mécanique utilisant la matrice d'inertie, que ces valeurs propres ne sont jamais positives.:

Considérons dans le repère satellite G x y z le point M de masse k, de cordonnées Bx, By, Bz autant dire que GM = B. Alors A(t) n'est autre que l'opposé de la matrice d'inertie de M par rapport au repère G x y z. Cette remarque apporte toutes les conclusions souhaitées à savoir:

Puisqu'une matrice d'inertie a des valeurs propres non négatives, A(t) a des valeurs propres non positives.

De toute évidence, mécaniquement, la direction de B est un axe principal et le plan normal à B est principal d'inertie. On en déduit que A(t) a une valeur propre nulle, ce qui est évident pour la direction de B, puisque aucun couple parallèle à B ne peut être créé. Naturellement les deux autres valeurs propres sont égales, et comme la trace de la matrice vaut - 2 B², on en déduit que les valeurs propres négatives sont égales à - B², résultat prévisible.

Autre point de vue plus mathématique et à la limite plus rapide :

Au vu des considérations précédentes nous pouvons calculer directement les valeurs propres de la matrice A(t)/k

le polynôme caractéristique que le lecteur calculera s'écrit:

ce qui confirme totalement le résultat précédent, d'une valeur propre nulle ( non contrôle autour de l'axe du champ ) et d'une racine double montrant un contrôle parfaitement symétrique de la composante de la rotation normale au champ.

Le gain de ce contrôle est - kB², démontrant de manière évidente que le couple est amortisseur de deux composantes de la rotation, mais comme le champ est variable il en résulte qu'à tour de rôle les composantes sont périodiquement amorties.

2° ) Etude du couple C2

Ce couple ne dépend que du temps et varie de manière périodique.

Comme une orbite héliosynchrone circulaire est proche d'une orbite polaire, nous pouvons essayer de voir ce que vaut ce couple pour une orbite polaire, le calcul est en effet plus simple.

Le lecteur vérifiera sur ce cas simplifié que dans les axes de Ro ( G X Y Z ):

donnant par le produit vectoriel:

Le couple est donc constant et sur l'axe de tangage du satellite, pour une orbite polaire et pour les hypothèses faites (champ dipolaire d'axe nord-sud).

Conséquences : il apparaît comme un couple perturbateur jouant le même rôle que le couple aérodynamique sur l'axe de tangage. Son effet sera donc un dépointage statique par rapport à la géocentrique. Il faudra donc en tenir compte pour la prise de vue.

Ordre de grandeur :

Un calcul sur une orbite de rayon 6800 km donne un couple

pour k=10⁷, la valeur est de l'ordre de grandeur du couple aérodynamique.

Nous ne savons pas aujourd'hui quels seront les gains k pratiqués.

En simulation , il pourrait être intéressant de vérifier sensiblement ce résultat en supprimant la perturbation aérodynamique.

Remarque finale : il ne faudra pas oublier de simuler le problème de la saturation éventuelle des magnétocoupleurs et également de prendre en compte la valeur réelle du champ B lors du calcul du couple C .

Commentaires sur la commande :

Après cette première étude théorique il apparaît que la variabilité de l'orientation du champ magnétique permet de contrôler tous les axes.

Aux passages équateur le champ est parallèle au roulis et le contrôle se fait sur les axes tangage et lacet.

Aux passages pôles le champ est radial entraînant l'impossibilité du contrôle lacet mais un contrôle actif sur le tangage et le roulis.

Il faudra donc s'attendre à une excellente efficacité sur le tangage partout contrôlé, et une moindre efficacité sur le lacet et le roulis, de plus, comme le gradient de gravité n'est pas efficace sur le lacet, il ne faudra pas s'étonner d'un contrôle "mou" sur le lacet.

Peut être faudrait-il "durcir' le contrôle lacet ? Mais comment, ce pourrait être un sujet de réflexion et d'étude.

NB: On rappelle cependant que les contraintes de vitesse angulaire sur le lacet sont moins strictes que sur les autres axes. 

3° ) Etude énergétique

Oublions le mouvement orbital du satellite et ne prenons en compte que la vitesse de B créée par le mouvement autour du centre d'inertie.

Dans ces conditions on a un moment magnétique

Un couple C et la puissance P du couple qui valent:

La puissance est négative traduisant fort heureusement une perte d'énergie et la formule montre que cette perte est d'autant plus grande que la rotation transversale au champ magnétique est grande.

Il apparaît donc évidemment que la composante de la rotation portée par le champ ne peut être réduite, c'est en cela que la variabilité du champ le long de l'orbite est intéressante.

IV Etude mathématique d'une autre loi mettant en évidence le rôle amortisseur de la commande et prenant mieux en compte les inerties différentes du satellite.:

Les simulations montrent vite que l'amortissement suivant les axes ne se fait pas à la même vitesse. Disons mieux les constantes de temps des amortissements dépendent des moments d'inertie du satellite.

Une autre idée nous a donc été donnée par M DAMILANO pour mieux prendre en compte ce fait. Nous l'exposons ci-après.

1° ) Notations

	Le vecteur champ magnétique terrestre
	Son vecteur unitaire
I	La matrice d'inertie du satellite en axes satellites principaux évidemment
		L'opérateur matriciel associé au produit vectoriel ci-contre

2° ) Prise en compte des inerties

Le principe de base consiste toujours à utiliser la dérivée du champ magnétique terrestre, mais en adoptant un gain K matriciel prenant en compte les inerties satellite.

Le moment magnétique est alors choisi de telle manière que

avec K matrice de gain qui se calcule par:

Le couple C agissant sur le satellite se calcule classiquement

Le lecteur familiarisé avec les calculs d'algèbre linéaire montrera que si on oublie le mouvement orbital pour ne s'intéresser qu'au mouvement autour du centre d'inertie on obtient alors:

Un couple et une puissance:

Le lecteur curieux pourra montrer que sur l'espace orthogonal à B, la relation s'explicite sous la forme

Il est donc clair que les inerties sont prises en compte dans le gain sur chaque axe. On montrera aussi que la puissance dissipée (sous l'hypothèse du seul mouvement autour du centre d'inertie) est

2° ) Remarque sur la constante de temps

Un retour sur les équations du mouvement montre que si l'on ne considère que le mouvement autour du centre d'inertie on a :

mettant bien en évidence la constante de temps t. Dans ces conditions l'amortisse ment sur les trois axes sera identique, ce qui en général résout le problème du lacet dans une stabilisation par gradient de gravité.

2° ) Remarque sur les simulations et le mouvement orbital :

En marge des études précédentes mais à l'occasion d'un PFE il pourrait être intéressant d'étudier à long terme le couplage entre le mouvement orbital et le satellite, couplage naturellement réalisé par le second terme de la dérivée du champ magnétique que nous avons soigneusement évité de faire apparaître dans les calculs précédents. L'inclinaison orbitale différente de 90° semble participer activement à ce couplage.

Les simulations montrent en effet clairement un tel couplage dans une sorte d'oscillation permanente résiduelle à une période double de la rotation orbitale.

Une telle étude pourrait peut être se faire en décomposant le champ magnétique en ses harmoniques par rapport à la pulsation orbitale.

GUIZIOU octobre 1994 et janvier 1995 revu en nov. 1999 pour le site

Propositions pédagogiques pour une approche simple du SCAO d'un satellite commandé par la dérivée du champ magnétique terrestre.

Rappels:

L'étude concerne le contrôle d'attitude d'un satellite, capturé par le gradient de gravité, amorti par la création d'un couple magnétique généré par une commande basée sur la dérivée du champ magnétique terrestre vu du satellite et interagissant avec le champ magnétique lui-même.

Un SCAO est en général difficile à appréhender, mais dans le cas présent d'une orbite héliosynchrone (circulaire et voisine d'une orbite polaire), on peut donner une approche pédagogique simple, graduée et réaliste de son fonctionnement.

I Gradient de gravité : ( Voir.dans... /scao/gradient/gradient.htm )

1° ) Ayant réalisé le calcul du couple agissant sur le satellite, il faut établir soigneusement les équations du mouvement autour du centre d'inertie dans le cas des petits angles (hypothèse à ne pas oublier).

2°) On montre alors l'existence d'une configuration orbitale stable avec pointage Terre et la nécessité de bien choisir les inerties du satellite. On pourra également réfléchir au rôle des produits d'inertie lorsque les axes satellites ne sont pas principaux d'inertie.

On remarque aussi dans les oscillations libres le découplage du tangage, ce qui est important pour l'application projetée.

De même il apparaît un couplage roulis - lacet et du fait de Ir voisin de It un rappel très mou sur le lacet, si rappel il y a. Vous retrouverez ce problème tout au long de la mise au point du SCAO.

3°) On mettra l'accent sur le rôle du mât de gravité. On évaluera les périodes propres d'oscillations.

4°) Dans le cas d'une perturbation constante sur le tangage on montrera que la stabilisation s'opère autour d'une position moyenne décalée par rapport au pointage Terre.

5°) Dans le cas général on mettra en évidence la nécessité d'un contrôle par amortissement ou d'un contrôle plus complexe.

II Etude simplifiée du contrôle tangage sur une orbite polaire.:

1°) On part de l'idée qu'une orbite héliosynchrone est voisine d'une orbite polaire pour laquelle le champ magnétique créé par un dipôle d'axe nord-sud est placé de manière privilégiée dans la base OXYZ. On peut penser que le rôle de ce champ magnétique sera très sensiblement le même.

Dans III 1°) il a été montré que la direction B du champ est une direction propre de la matrice A(t) et que toute direction orthogonale au champ magnétique B, est une direction propre associée à la valeur propre - lB².

Ainsi l'axe de tangage est une direction propre de A(t). Le couple généré par la commande associée à la dérivée devient donc très simple:

Il montre parfaitement le rôle amortisseur sur le tangage, mais fait apparaître une perturbation constante en axes orbitaux.

2°) Equation du tangage découplé :

Le lecteur établira

Il est alors facile sous Simulink de réaliser le schéma bloc de la simulation ce qui permettra:

De comprendre l'influence de B et surtout de choisir le gain k

De réaliser que le choix de ce gain est un compromis entre la rapidité de l'amortissement et l'imprécision du pointage final.

Il pourra être utile par exemple de tracer la courbe liant le temps de réponse au dépointage résiduel.

3°) Simulation directe de la dérivée.:

Afin de valider les calculs et d'être plus proche de la réalité, on procédera à la simulation plus réaliste de la dérivée. Pour cela:

On utilisera des blocs existants (Champ magnétique, équation d'état ....)

On mettra en évidence les problèmes posés par la dérivée d'une information bruitée.

On retrouvera les mêmes résultats que précédemment.

4°) Magnétocoupleurs :

On étudiera la réalité physique de la commande et on choisira les magnéto coupleurs.

On envisagera d'éventuels problèmes de saturation

On abordera la possible mise en place d'un filtrage de la mesure.

5°) Echantillonnage du système :

Ce système simple pourrait être l'occasion de la mise en place et de l'étude appliquée d'un échantillonnage.

III SIMULATION REELLE COMPLETE :

A la lumière des études simplifiées précédentes, on réalisera la simulation complète 3-axes de la stabilisation du satellite.

1°) Changement d'axes de la base XYZ à xyz :

La figure suivante montre les axes XYZ ( liés à l'orbite voir ...\scao\magnetoc\magneto2.htm)

X axe portant la vitesse au sens habituel

Y normale au plan orbital portant le moment cinétique orbital

Z géocentrique verticale

xyz est lié au satellite

x axe de roulis

y axe de tangage direction de la caméra.

z axe de lacet

F, q , Y sont les angles de roulis, tangage et lacet. Ces devraient rester petits avec un SCAO bien conçu.

x est l'axe de mesure du roulis, b celui du tangage et Z celui du lacet.

Les bases successives sont XYZ --->abZ ---->xbg --->xyz

On apportera un grand soin à ce changement de base, en ne faisant pas au départ l'hypothèse des petits angles de manière à garder une transformation exacte.

On vérifiera que la matrice P de passage de la base xyz à XYZ est donnée par ses éléments:

p(1,1)=cos(y)*cos(q);

p(1,2)=sin(y)*cos(q);

p(1,3)=-sin(q);0

p(2,1)=cos(y)*sin(q)*sin(F)-sin(y)*cos(F);

p(2,2)=cos(y)*cos(F)+sin(y)*sin(q)*sin(F);

p(2,3)=cos(q)*sin(F);

p(3,1)=cos(y)*sin(q)*cos(F)+sin(y)*sin(F);

p(3,2)=sin(y)*sin(q)*cos(F)-cos(y)*sin(F);

p(3,3)=cos(q)*cos(F);

On rappelle alors (Algèbre linéaire) :

2°) Passage au modèle 3-axes du satellite.:

Je préconise une étape intermédiaire qui consiste à introduire le modèle dynamique du satellite et à vérifier que dans le cas d'une orbite polaire et du seul mouvement de tangage, on retrouve les résultats de l'étude uniaxiale.

On pourra alors prolonger l'étude pour le cas général puisque le modèle satellite aura été validé.

GUIZIOU octobre 1994 et janvier 1995 revu en nov. 1999 pour le site et novembre 2001 (détails), sept 2011